Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável. O problema pede para encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e a direção em que essa variação ocorre. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação máxima. Em cálculo multivariável, a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é dada pela magnitude do gradiente da função nesse ponto. O gradiente também nos dá a direção em que essa taxa de variação máxima ocorre.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos ajudarão a encontrar o gradiente.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente no ponto :
Passo 6
A taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente. Vamos calcular essa magnitude:
Passo 7
A direção em que ocorre a máxima taxa de variação é a direção do vetor gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário, dividimos o gradiente pela sua magnitude:
çã
Resposta
A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .