Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável. O problema pede para encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e a direção em que essa variação ocorre. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação máxima. Em cálculo multivariável, a taxa de variação máxima de uma função em um ponto é dada pela magnitude do gradiente da função nesse ponto. O gradiente também nos dá a direção em que essa taxa de variação máxima ocorre.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos ajudarão a encontrar o gradiente.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar o vetor gradiente no ponto :

Passo 6

A taxa de variação máxima é a magnitude do gradiente. Vamos calcular essa magnitude:

Passo 7

A direção em que ocorre a máxima taxa de variação é a direção do vetor gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário, dividimos o gradiente pela sua magnitude:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor .
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Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor .
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Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :