Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x / y^2 no ponto P(1,2) na direção
v = (1/3) * (2 * i + raiz(5) * j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e trabalhar com vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto, na direção de um vetor, é basicamente a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos garantir que o vetor direção seja um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento 1.
Calculando o comprimento de :
Então, já é um vetor unitário.

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor direção:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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