Determine a derivada direcional da função no ponto na direção
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e trabalhar com vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto, na direção de um vetor, é basicamente a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Substituindo e :
Passo 5
Agora, vamos garantir que o vetor direção seja um vetor unitário. Um vetor unitário tem comprimento 1.
Calculando o comprimento de :
Então, já é um vetor unitário.
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .