lim x p e^x-e^px-p

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x p e^x-e^px-p. Esse problema é de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que dão uma forma indefinida, tipo 00, e para isso vamos usar uma ferramenta chamada Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos x por p diretamente na expressão. Temos:
e^p - e^pp - p = 00
Essa forma, 00, é indefinida, o que significa que não conseguimos encontrar o limite dessa maneira direta. Então, precisamos de outra estratégia para resolver.

Passo 3

Aqui entra a Regra de L’Hospital, que nos ajuda a resolver limites que resultam em formas indeterminadas como 00. A regra diz que, se temos:
limx to p f(x)g(x) = 00
Então, podemos calcular o limite das derivadas das funções do numerador e do denominador:
limx to p f'(x)g'(x)
No nosso caso, f(x) = e^x e g(x) = x - p.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • A derivada de f(x) = e^x é f'(x) = e^x.
  • A derivada de g(x) = x - p é g'(x) = 1, já que a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante é 0.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
limx to p e^x1 = e^p
Isso porque quando x se aproxima de p, e^x se aproxima de e^p.

Resposta

O limite é igual a e^p.

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