Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem e uma condição inicial. Vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares. Então, nossa missão é encontrar a função
que satisfaz a equação e a condição inicial fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:
Nossa equação original é:
Vamos dividir todos os termos por
para isolar
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
) que nos ajudará a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que:
Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é: