Resolva as equações diferenciais abaixo:
l(cos x) y^prime+(sen x) y-2 x cos ^2 x=0 y(pi4)=-15 raiz2 pi^232

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem e uma condição inicial. Vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares. Então, nossa missão é encontrar a função que satisfaz a equação e a condição inicial fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:
y' + P(x) y = Q(x)
Nossa equação original é:
(cos x) y' + (sin x) y - 2x cos^2 x = 0
Vamos dividir todos os termos por y' + tan x , y = 2x cos x para isolar :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x) , dx ) que nos ajudará a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral tan x , dx = e^-ln|cos x| = 1cos x = sec x
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante sec x cdot y' + sec x tan x , y = 2x cos x cdot sec x :
sec x cdot y' + sec x tan x , y = 2x
Simplificando os termos:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddx(sec x cdot y) = 2x . Ou seja:
sec x cdot y = integral 2x , dx = x^2 + C
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y = cos x (x^2 + C) :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de y(pi4) = -15 raiz2 pi^232 . Sabemos que:
-15 raiz2 pi^232 = cos(pi4) ((pi4)^2 + C)
Substituindo -15 raiz2 pi^232 = raiz22 (pi^216 + C) na expressão de -15 pi^216 = pi^216 + C :
C = -15 pi^216 - pi^216 = -16 pi^216 = -pi^2
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = cos x (x^2 - pi^2)

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