Resolva as equações diferenciais abaixo:
e^(-y) y' - e^(x(x - y / x)) y^(-2) = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial com uma condição inicial: . A matéria que vamos usar para resolver isso é Equações Diferenciais, mais especificamente o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar manipular a equação para conseguir separar as variáveis e em lados diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação dada:
Vamos simplificar o expoente de na segunda parte. Observe que:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Adicionando dos dois lados, temos:
Para simplificar, dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora a equação está na forma:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 5

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e multiplicando por :
Agora, cada lado da equação tem somente uma variável.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
A integral do lado esquerdo é direta:
Já a integral do lado direito, , não tem uma expressão em funções elementares, então vamos deixá-la como uma integral definida de 0 a :

Passo 7

Aplicando a condição inicial para encontrar a constante de integração :
Quando , a integral do lado direito é 0, então:

Passo 8

Substituindo na expressão geral, temos:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:

Resposta

A solução da equação diferencial dada, com a condição inicial , é:
Ou, de forma isolada para :

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