Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial com uma condição inicial:
. A matéria que vamos usar para resolver isso é Equações Diferenciais, mais especificamente o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar manipular a equação para conseguir separar as variáveis
e
em lados diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação dada:
Vamos simplificar o expoente de
na segunda parte. Observe que:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Adicionando
dos dois lados, temos:
Para simplificar, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora a equação está na forma:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 5
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e multiplicando por
:
Agora, cada lado da equação tem somente uma variável.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
A integral do lado esquerdo é direta:
Já a integral do lado direito,
, não tem uma expressão em funções elementares, então vamos deixá-la como uma integral definida de 0 a
:
Passo 7
Aplicando a condição inicial
para encontrar a constante de integração
:
Quando
, a integral do lado direito é 0, então:
Passo 8
Substituindo
na expressão geral, temos:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, com a condição inicial
, é:
Ou, de forma isolada para
: