Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão exige que calculemos o limite de
quando
n tende ao infinito.
Passo 3
Vamos montar a razão entre
an+1 e
an :
Simplificando, temos:
Passo 4
Simplificando ainda mais
(n+1n)^n , sabemos que:
Portanto, o limite fica:
Passo 5
Para a série convergir pelo Teste da Razão, esse limite precisa ser menor que 1:
Resolvendo para
x :
Passo 6
Assim, o raio de convergência é
1e , e o intervalo de convergência é:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
(3 - 1e, 3 + 1e) .