Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
sumn=0^infty n^n(x-3)^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty n^n(x-3)^nn!
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = n^n(x-3)^nn!
O Teste da Razão exige que calculemos o limite de | an+1an | quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos montar a razão entre an+1 e an:
an+1an = (n+1)^n+1(x-3)^n+1(n+1)! times n!n^n(x-3)^n
Simplificando, temos:
an+1an = (n+1n)^n times (x-3)

Passo 4

Simplificando ainda mais (n+1n)^n, sabemos que:
(1 + 1n)^n approx e quando n to infty
Portanto, o limite fica:
limn to infty | e cdot (x-3) |

Passo 5

Para a série convergir pelo Teste da Razão, esse limite precisa ser menor que 1:
|e cdot (x-3)| < 1
Resolvendo para x:
|x-3| < 1e

Passo 6

Assim, o raio de convergência é 1e, e o intervalo de convergência é:
3 - 1e < x < 3 + 1e

Resposta

O intervalo de convergência da série é (3 - 1e, 3 + 1e).

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