Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Precisamos encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e identificar a direção em que essa taxa ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma de suas variáveis. Matematicamente, é representado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
  2. Derivada parcial em relação a :
  3. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A taxa de variação máxima da função no ponto é dada pela norma do gradiente nesse ponto. A norma de um vetor é calculada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
A direção em que essa taxa máxima ocorre é a direção do próprio gradiente. Para obter a direção unitária, normalizamos o gradiente dividindo-o pela sua norma:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é 108, e ocorre na direção do eixo , representada pelo vetor .

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Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor .
.
Esboce a curva de nível de passando pelo ponto (i.e. a curva de nível ) e desenhe o vetor gradiente em :
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.