Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Precisamos encontrar a taxa de variação máxima da função no ponto e identificar a direção em que essa taxa ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma de suas variáveis. Matematicamente, é representado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais de :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Para :
Para :
Para :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 5
A taxa de variação máxima da função no ponto é dada pela norma do gradiente nesse ponto. A norma de um vetor é calculada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
A direção em que essa taxa máxima ocorre é a direção do próprio gradiente. Para obter a direção unitária, normalizamos o gradiente dividindo-o pela sua norma:
çã
Resposta
A taxa de variação máxima de no ponto é 108, e ocorre na direção do eixo , representada pelo vetor .