Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional máxima da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção em que a função cresce mais rápido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 4

A derivada direcional máxima em um ponto ocorre na direção do gradiente nesse ponto e seu valor é igual ao módulo do gradiente. Vamos calcular o módulo do gradiente:

Resposta

A derivada direcional máxima de em é e ocorre na direção do vetor .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(a) ;
Esboçe a curva de nível de que passa pelo ponto e disenhe o vetor gradiente em :
© .
Suponha que a função de duas váriaveis , diferenciável no ponto (1,2), satifaz e , onde e . Determine:
(b) .
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
(b) ;