Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional máxima da função
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a encontrar a direção em que a função cresce mais rápido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
A derivada direcional máxima em um ponto ocorre na direção do gradiente nesse ponto e seu valor é igual ao módulo do gradiente. Vamos calcular o módulo do gradiente:
Resposta
A derivada direcional máxima de
em
é
e ocorre na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(a) ;
(a)
Esboçe a curva de nível de
que passa pelo ponto
e disenhe o vetor gradiente em
:
© .
©
Suponha que a função de duas váriaveis
, diferenciável no ponto (1,2), satifaz
e
, onde
e
. Determine:
(b) .
(b)
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
(b) ;
(b)