Suponha que a função de duas váriaveis
, diferenciável no ponto (1,2), satifaz
e
, onde
e
. Determine:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função de duas variáveis
que é diferenciável no ponto
. Sabemos as derivadas direcionais de
nas direções dos vetores
e
, que são, respectivamente,
e
. Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais e como elas se relacionam com as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Aplicando essa fórmula para os vetores
e
, temos duas equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Para facilitar, podemos eliminar os denominadores multiplicando as equações por 5:
Passo 5
Para eliminar
, vamos multiplicar a equação (1a) por 3 e a equação (2a) por 4:
Passo 6
Somando as duas novas equações:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos esse valor na equação (1a):
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(b) ;
(b)
Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(a) ;
(a)
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
(b) ;
(b)
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
© .
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