Suponha que a função de duas váriaveis , diferenciável no ponto (1,2), satifaz e , onde e . Determine:
(b) .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função de duas variáveis que é diferenciável no ponto . Sabemos as derivadas direcionais de nas direções dos vetores e , que são, respectivamente, e . Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais e como elas se relacionam com as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Aplicando essa fórmula para os vetores e , temos duas equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Para facilitar, podemos eliminar os denominadores multiplicando as equações por 5:

Passo 5

Para eliminar , vamos multiplicar a equação (1a) por 3 e a equação (2a) por 4:

Passo 6

Somando as duas novas equações:

Passo 7

Agora que temos , substituímos esse valor na equação (1a):

Resposta

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Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(b) ;
Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(a) ;
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
(b) ;
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
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