Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como o gradiente, que nos ajuda a encontrar vetores normais à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que possamos aplicar o cálculo de forma mais direta. Podemos considerar a função . Assim, a superfície é o conjunto de pontos onde .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente de , que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é normal à superfície. O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto dado :
Esse vetor é o vetor normal à superfície no ponto especificado.

Passo 5

Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A equação de um plano com vetor normal passando pelo ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal . As equações paramétricas são dadas por:
Substituindo os valores:
Ou simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:

Exercícios relacionados

Suponha que a função de duas váriaveis , diferenciável no ponto (1,2), satifaz e , onde e . Determine:
(b) .
Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(b) ;
Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
© .
A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam e funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
© Confirme que satifaz a equação de onda com , e então use identidades trigonométiricas apropriadas para expressar essa função na forma .