Determine equações do plano tangente e as equações parametricas da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como o gradiente, que nos ajuda a encontrar vetores normais à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que possamos aplicar o cálculo de forma mais direta. Podemos considerar a função . Assim, a superfície é o conjunto de pontos onde .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o gradiente de , que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é normal à superfície. O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto dado :
Esse vetor é o vetor normal à superfície no ponto especificado.
Passo 5
Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A equação de um plano com vetor normal passando pelo ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal . As equações paramétricas são dadas por:
Substituindo os valores:
Ou simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são: