De um funil cônico escoa água à razão de . Sabendo-se que a geratriz faz com o eixo do cone um ângulo , ache a velocidade com que baixa o nível da água do funil, no instante em que o raio da base do volume líquido for igual a 4 cm .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um funil que é um cone pelo qual a água está escorrendo. A taxa de escoamento é de . Sabemos que a geratriz do cone faz um ângulo de com o eixo do cone. O objetivo aqui é descobrir quão rápido o nível da água está descendo quando o raio da base da água é de 4 cm. Vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo de taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do cone. A geratriz é a “gentrix” que vai do vértice do cone até qualquer ponto da base. Como a geratriz faz um ângulo de com o eixo do cone, podemos relacionar o raio da base com a altura da água usando a tangente desse ângulo:
Com , temos:
Sabendo que , então:

Passo 3

Agora, vamos relacionar o volume da água com o raio. O volume de um cone é dado por:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Queremos encontrar a velocidade com que a altura está mudando, ou seja, . Para isso, vamos derivar o volume em relação ao tempo:
Sabemos que . Então:
Simplificando, tiramos o dos dois lados:
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos relacionar com . Lembrando que:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Substituindo que encontramos:

Passo 6

Finalmente, queremos saber quando :

Resposta

A velocidade com que o nível da água está descendo é de .

Exercícios relacionados

Determine a diferencial de , onde e .
Determine o gradiente e a derivada direcional de no ponto e na direção da reta tangente à circunferência no ponto .
Determine a derivada de no ponto , na direção .
Determine a derivada direcional mínima da função , no ponto e a direção em que sua derivada, neste ponto, se torna máxima.