De um funil cônico escoa água à razão de
. Sabendo-se que a geratriz faz com o eixo do cone um ângulo
, ache a velocidade com que baixa o nível da água do funil, no instante em que o raio da base do volume líquido for igual a 4 cm .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um funil que é um cone pelo qual a água está escorrendo. A taxa de escoamento é de
. Sabemos que a geratriz do cone faz um ângulo de
com o eixo do cone. O objetivo aqui é descobrir quão rápido o nível da água está descendo quando o raio da base da água é de 4 cm. Vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo de taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do cone. A geratriz é a “gentrix” que vai do vértice do cone até qualquer ponto da base. Como a geratriz faz um ângulo de
com o eixo do cone, podemos relacionar o raio
da base com a altura
da água usando a tangente desse ângulo:
Com
, temos:
Sabendo que
, então:
Passo 3
Agora, vamos relacionar o volume da água com o raio. O volume
de um cone é dado por:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Queremos encontrar a velocidade com que a altura
está mudando, ou seja,
. Para isso, vamos derivar o volume em relação ao tempo:
Sabemos que
. Então:
Simplificando, tiramos o
dos dois lados:
Isolando
:
Passo 5
Agora, vamos relacionar
com
. Lembrando que:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Substituindo
que encontramos:
Passo 6
Finalmente, queremos saber
quando
:
Resposta
A velocidade com que o nível da água está descendo é de
.
Exercícios relacionados
Determine a diferencial de
, onde
e
.
Determine o gradiente e a derivada direcional de
no ponto
e na direção da reta tangente à circunferência
no ponto
.
Determine a derivada de
no ponto
, na direção
.
Determine a derivada direcional mínima da função
, no ponto
e a direção em que sua derivada, neste ponto, se torna máxima.