Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável . Expresse em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação define implicitamente uma função diferenciável . Além disso, queremos expressar as derivadas parciais e em termos de , e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que nos ajuda a saber quando podemos resolver uma equação para uma variável em função das outras e a encontrar suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Função Implícita. Ele diz que se temos uma equação , e certas condições são satisfeitas (como a existência de derivadas parciais contínuas e que uma derivada específica não seja zero), então podemos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos , como uma função diferenciável das outras variáveis, e .

Passo 3

Vamos identificar nossa função . No nosso caso:
Queremos ver se podemos resolver para como função de e .

Passo 4

Para aplicar o teorema, precisamos verificar se a derivada parcial de em relação a não é zero nesse ponto. Vamos calcular essa derivada:
Precisamos que . Supondo que isso seja verdade (o enunciado nos garante que existe pelo menos uma função diferenciável), podemos seguir adiante.

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema da Função Implícita para afirmar que existe uma função diferenciável que satisfaz .

Passo 6

Com a existência da função garantida, queremos encontrar as derivadas parciais e . Para isso, usamos a regra da cadeia aplicada a .

Passo 7

Aplicando a derivada parcial em relação a :
Resolvendo para :

Passo 8

Calculando :
Então:

Passo 9

Da mesma forma, aplicando a derivada parcial em relação a :
Resolvendo para :

Passo 10

Calculando :
Então:

Resposta

As derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
e

Exercícios relacionados

(2 ponto) Determine a equação característica e encontre as raízes. Em seguida, resolva a equação.
(2 ponto) Use a condição inicial para encontrar a constante da solução geral, e escriva em função de . Calcule o seguinte limite, se existir:
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine a derivada direcional de no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo .