Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y). Expresse partial zpartial x e partial zpartial x em termos de x, y, z.
e^x+y+z+x y z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação e^x+y+z + xyz = 1 define implicitamente uma função diferenciável z = z(x, y). Além disso, queremos expressar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y e z. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que nos ajuda a saber quando podemos resolver uma equação para uma variável em função das outras e a encontrar suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Função Implícita. Ele diz que se temos uma equação F(x, y, z) = 0, e certas condições são satisfeitas (como a existência de derivadas parciais contínuas e que uma derivada específica não seja zero), então podemos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos z, como uma função diferenciável das outras variáveis, x e y.

Passo 3

Vamos identificar nossa função F(x, y, z). No nosso caso:
F(x, y, z) = e^x + y + z + xyz - 1
Queremos ver se podemos resolver F(x, y, z) = 0 para z como função de x e y.

Passo 4

Para aplicar o teorema, precisamos verificar se a derivada parcial de F em relação a z não é zero nesse ponto. Vamos calcular essa derivada:
partial Fpartial z = e^x + y + z + xy
Precisamos que partial Fpartial z neq 0. Supondo que isso seja verdade (o enunciado nos garante que existe pelo menos uma função diferenciável), podemos seguir adiante.

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema da Função Implícita para afirmar que existe uma função z = z(x, y) diferenciável que satisfaz F(x, y, z) = 0.

Passo 6

Com a existência da função z(x, y) garantida, queremos encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. Para isso, usamos a regra da cadeia aplicada a F(x, y, z(x, y)) = 0.

Passo 7

Aplicando a derivada parcial em relação a x:
partial Fpartial x + partial Fpartial z cdot partial zpartial x = 0
Resolvendo para partial zpartial x:
partial zpartial x = -partial Fpartial xpartial Fpartial z

Passo 8

Calculando partial Fpartial x:
partial Fpartial x = e^x + y + z + yz
Então:
partial zpartial x = -e^x + y + z + yze^x + y + z + xy

Passo 9

Da mesma forma, aplicando a derivada parcial em relação a y:
partial Fpartial y + partial Fpartial z cdot partial zpartial y = 0
Resolvendo para partial zpartial y:
partial zpartial y = -partial Fpartial ypartial Fpartial z

Passo 10

Calculando partial Fpartial y:
partial Fpartial y = e^x + y + z + xz
Então:
partial zpartial y = -e^x + y + z + xze^x + y + z + xy

Resposta

As derivadas parciais de z em relação a x e y são dadas por:
partial zpartial x = -e^x + y + z + yze^x + y + z + xy
e
partial zpartial y = -e^x + y + z + xze^x + y + z + xy

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