Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação
define implicitamente uma função diferenciável
. Além disso, queremos expressar as derivadas parciais
e
em termos de
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Função Implícita, que nos ajuda a saber quando podemos resolver uma equação para uma variável em função das outras e a encontrar suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Função Implícita. Ele diz que se temos uma equação
, e certas condições são satisfeitas (como a existência de derivadas parciais contínuas e que uma derivada específica não seja zero), então podemos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos
, como uma função diferenciável das outras variáveis,
e
.
Passo 3
Vamos identificar nossa função
. No nosso caso:
Queremos ver se podemos resolver
para
como função de
e
.
Passo 4
Para aplicar o teorema, precisamos verificar se a derivada parcial de
em relação a
não é zero nesse ponto. Vamos calcular essa derivada:
Precisamos que
. Supondo que isso seja verdade (o enunciado nos garante que existe pelo menos uma função diferenciável), podemos seguir adiante.
Passo 5
Agora, vamos usar o Teorema da Função Implícita para afirmar que existe uma função
diferenciável que satisfaz
.
Passo 6
Com a existência da função
garantida, queremos encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia aplicada a
.
Passo 7
Aplicando a derivada parcial em relação a
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Calculando
:
Então:
Passo 9
Da mesma forma, aplicando a derivada parcial em relação a
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Calculando
:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
e
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(2 ponto) Determine a equação característica e encontre as raízes. Em seguida, resolva a equação.
(2 ponto) Use a condição inicial para encontrar a constante da solução geral, e escriva
em função de
. Calcule o seguinte limite, se existir:
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Determine a derivada direcional de
no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo
.