Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir qual é a taxa de variação máxima da função
no ponto
e também a direção em que essa variação máxima acontece. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é uma ferramenta da calcular multivariada que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente, e ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Derivada parcial de
em relação a : -
Derivada parcial de
em relação a : -
Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
em : -
em : -
em :
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
A taxa de variação máxima da função no ponto dado é igual à magnitude do gradiente nesse ponto. Para calcular a magnitude do vetor gradiente
, usamos a fórmula:
A direção em que essa taxa de variação máxima ocorre é a mesma direção do vetor gradiente, ou seja, na direção de
.
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é aproximadamente
e ocorre na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
em termos de
.
(2 ponto) Determine a equação característica e encontre as raízes. Em seguida, resolva a equação.
Determine a derivada direcional de
no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo
.
Mostre o Teorema do Valor Médio para Integrais, ou seja, mostre que se
for contínua em
, então existe um número
tal que