Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir qual é a taxa de variação máxima da função no ponto e também a direção em que essa variação máxima acontece. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é uma ferramenta da calcular multivariada que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente, e ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • em :
  • em :
  • em :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A taxa de variação máxima da função no ponto dado é igual à magnitude do gradiente nesse ponto. Para calcular a magnitude do vetor gradiente , usamos a fórmula:
A direção em que essa taxa de variação máxima ocorre é a mesma direção do vetor gradiente, ou seja, na direção de .

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é aproximadamente e ocorre na direção do vetor .

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