Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do ângulo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
em uma direção específica. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário na direção do ângulo
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Passo 5
Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção do ângulo
. Um vetor unitário na direção de
é dado por:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Substituindo os valores que encontramos: