Encontre o comprimento do arco das curvas a seguir:
, para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial no intervalo de de 1 a 4. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco para curvas paramétricas. Precisamos lembrar que a fórmula envolve derivadas das componentes da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento do arco de uma curva paramétrica de a :
Vamos identificar e na nossa função vetorial.

Passo 3

Na nossa função, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 6

Para facilitar a integração, podemos fatorar dentro da raiz:
Simplificando:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Não há uma antiderivada simples para essa função, então podemos calcular a integral numericamente.

Passo 8

Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, calculamos a integral:

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo de a é aproximadamente 3.231 unidades.

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(vi) .