Encontre o comprimento do arco das curvas a seguir:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de 1 a 4. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco para curvas paramétricas. Precisamos lembrar que a fórmula envolve derivadas das componentes da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento do arco
de uma curva paramétrica
de
a
:
Vamos identificar
e
na nossa função vetorial.
Passo 3
Na nossa função, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Para facilitar a integração, podemos fatorar
dentro da raiz:
Simplificando:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Não há uma antiderivada simples para essa função, então podemos calcular a integral numericamente.
Passo 8
Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, calculamos a integral:
Resposta
O comprimento do arco da curva no intervalo de
a
é aproximadamente 3.231 unidades.