Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
© (i) , (ii) , (iii) , (iv)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais de Cauchy! A gente precisa calcular a integral de uma função racional complexa ao longo de vários contornos fechados. Para isso, vamos usar o teorema das integrais de Cauchy, que nos ajuda a calcular integrais complexas utilizando os resíduos das funções nos pontos onde ela não é analítica (os polos).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função que queremos integrar:
Para isso, igualamos o denominador a zero:
Então, os polos estão em e .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada contorno fechado indicado para ver quais desses polos estão dentro deles.
(i) :
  • O raio desse círculo é .
  • O polo está dentro porque .
  • O polo está fora porque .
(ii) :
  • Esse círculo está centrado em com raio 2.
  • Para verificar se o polo está dentro:
á
  • Para o polo :
[
|2 + 1| = 3 > 2 \implies está fora.
(iii) :
  • Círculo centrado em com raio 2.
  • Para :
  • Para :
[
|2 - 3| = 1 < 2 \implies dentro.
(iv) :
  • Círculo centrado em com raio 1.
  • Para :
  • Para :
[
|2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} > 1 \implies fora.

Passo 4

Agora que sabemos quais polos estão dentro de cada contorno, vamos calcular os resíduos nesses pontos.
A função possui polos simples em e . O resíduo de em um polo simples é dado por:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Aplicando o teorema dos resíduos de Cauchy, a integral ao redor de um contorno fechado é vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno.
Vamos calcular para cada contorno:
(i) :
  • Apenas está dentro.
(ii) :
  • Apenas está dentro.
(iii) :
  • Apenas está dentro.
(iv) :
  • Nenhum polo está dentro.

Resposta

As integrais ao longo dos contornos fechados são:

Exercícios relacionados

Dê um exemplo de uma sequência , não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(b) limitada e não-monótona;
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
© (i) , (ii)
Dê um exemplo de uma sequência , não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
© não limitada e não-monótona;
Determine a derivada das seguintes funções:
(a)