Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
©
(i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais de Cauchy! A gente precisa calcular a integral de uma função racional complexa ao longo de vários contornos fechados. Para isso, vamos usar o teorema das integrais de Cauchy, que nos ajuda a calcular integrais complexas utilizando os resíduos das funções nos pontos onde ela não é analítica (os polos).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função que queremos integrar:
Para isso, igualamos o denominador a zero:
Então, os polos estão em
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada contorno fechado indicado para ver quais desses polos estão dentro deles.
(i)
:
- O raio desse círculo é
. - O polo
está dentro porque . - O polo
está fora porque .
(ii)
:
- Esse círculo está centrado em
com raio 2. - Para verificar se o polo
está dentro:
- Para o polo
:
[
|2 + 1| = 3 > 2 \implies está fora.
|2 + 1| = 3 > 2 \implies está fora.
(iii)
:
- Círculo centrado em
com raio 2. - Para
:
- Para
:
[
|2 - 3| = 1 < 2 \implies dentro.
|2 - 3| = 1 < 2 \implies dentro.
(iv)
:
- Círculo centrado em
com raio 1. - Para
:
- Para
:
[
|2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} > 1 \implies fora.
|2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} > 1 \implies fora.
Passo 4
Agora que sabemos quais polos estão dentro de cada contorno, vamos calcular os resíduos nesses pontos.
A função
possui polos simples em
e
. O resíduo de
em um polo simples
é dado por:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Aplicando o teorema dos resíduos de Cauchy, a integral ao redor de um contorno fechado é
vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno.
Vamos calcular para cada contorno:
(i)
:
- Apenas
está dentro.
(ii)
:
- Apenas
está dentro.
(iii)
:
- Apenas
está dentro.
(iv)
:
- Nenhum polo está dentro.
Resposta
As integrais ao longo dos contornos fechados são:
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(b) limitada e não-monótona;
(b) limitada e não-monótona;
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
© (i)
, (ii)
©
Dê um exemplo de uma sequência
, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
© não limitada e não-monótona;
© não limitada e não-monótona;
Determine a derivada
das seguintes funções:
(a)
(a)