Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais ao longo dos contornos fechados indicados.
© ointC 2 z+5z^2-2 z d z ; (i) |z|=12, (ii) |z+1|=2, (iii) |z-3|=2, (iv) |z+2 i|=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integrais de Cauchy! A gente precisa calcular a integral de uma função racional complexa ao longo de vários contornos fechados. Para isso, vamos usar o teorema das integrais de Cauchy, que nos ajuda a calcular integrais complexas utilizando os resíduos das funções nos pontos onde ela não é analítica (os polos).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função que queremos integrar:
f(z) = 2z + 5z^2 - 2z
Para isso, igualamos o denominador a zero:
z^2 - 2z = 0 implies z(z - 2) = 0
Então, os polos estão em e .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada contorno fechado indicado para ver quais desses polos estão dentro deles.
(i) |0 + 1| = 1 < 2 implies está dentro :
  • O raio desse círculo é |2 + 1| = 3 > 2 implies está fora **(iii) ( |z - 3| = 2 ):** - Círculo centrado em ( z = 3 ) com raio 2 - Para ( z = 0 ): [ |0 - 3| = 3 > 2 implies fora .
  • O polo |2 - 3| = 1 < 2 implies dentro **(iv) ( |z + 2i| = 1 ):** - Círculo centrado em ( z = -2i ) com raio 1 - Para ( z = 0 ): [ |0 + 2i| = 2 > 1 implies fora está dentro porque .
  • O polo está fora porque .
(ii) :
  • Esse círculo está centrado em com raio 2.
  • Para verificar se o polo está dentro:
á
  • Para o polo :
[
|2 + 1| = 3 > 2 \implies está fora.
(iii) :
  • Círculo centrado em com raio 2.
  • Para :
  • Para :
[
|2 - 3| = 1 < 2 \implies dentro.
(iv) :
  • Círculo centrado em com raio 1.
  • Para :
  • Para :
[
|2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} > 1 \implies fora.

Passo 4

Agora que sabemos quais polos estão dentro de cada contorno, vamos calcular os resíduos nesses pontos.
A função Res(f, a) = limz to a (z - a)f(z) possui polos simples em Res(f, 0) = limz to 0 z cdot 2z + 5z(z - 2) = limz to 0 2z + 5z - 2 = 5-2 = -52 e Res(f, 2) = limz to 2 (z - 2) cdot 2z + 5z(z - 2) = limz to 2 2z + 5z = 4 + 52 = 92 . O resíduo de em um polo simples é dado por:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Aplicando o teorema dos resíduos de Cauchy, a integral ao redor de um contorno fechado é ointC f(z) , dz = 2pi i cdot (-52) = -5pi i vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno.
Vamos calcular para cada contorno:
(i) ointC f(z) , dz = 2pi i cdot (-52) = -5pi i :
  • Apenas ointC f(z) , dz = 2pi i cdot (92) = 9pi i está dentro.
ointC f(z) , dz = 0
(ii) :
  • Apenas está dentro.
(iii) :
  • Apenas está dentro.
(iv) :
  • Nenhum polo está dentro.

Resposta

As integrais ao longo dos contornos fechados são:
(i) -5pi i (ii) -5pi i (iii) 9pi i (iv) 0

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