Determine a derivada de cada função dada a seguir, utilizando a definição de derivada:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Então, a gente vai trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que, para encontrar , a gente precisa calcular esse limite.

Passo 3

Agora, vamos substituir pela nossa função . Ficando assim:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja . Quando tende a 0, também tende a 0. Reescrevendo a expressão:

Passo 6

Sabemos que pode ser aproximado para pequenos pela série de Taylor, onde:
Substituindo na expressão:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Determine a derivada de cada função dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados:
Encontrar as derivada laterais no ponto indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível: