Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Então, a gente vai trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que, para encontrar
, a gente precisa calcular esse limite.
Passo 3
Agora, vamos substituir
pela nossa função
. Ficando assim:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja
. Quando
tende a 0,
também tende a 0. Reescrevendo a expressão:
Passo 6
Sabemos que
pode ser aproximado para pequenos
pela série de Taylor, onde:
Substituindo na expressão:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível: