Determine a derivada de cada função dada a seguir, utilizando a definição de derivada:

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão pede. Estamos querendo encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Isso envolve entender como a taxa de variação de muda em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de em um ponto é o limite:
Isso basicamente calcula a inclinação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, substituímos por :

Passo 4

Agora, calculamos a diferença :
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum é .

Passo 5

Vamos reescrever as frações com o denominador comum:

Passo 6

Agora, expandimos os numeradores:
Subtraindo os dois:

Passo 7

Então, a diferença fica:
Agora, dividimos por e tiramos o limite quando tende a 0:

Passo 8

Tomando o limite quando vai para 0:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados:
Seja a função dada por . Verifique se é contínua em
Encontrar as derivada laterais no ponto indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Encontrar as derivada laterais no ponto indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: