Encontrar as derivada laterais no ponto x_0 indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: f(x) = raiz(|x - 2| + 4), x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas laterais da função no ponto . Isso envolve entender o que são derivadas laterais, como calcular derivadas de funções com valor absoluto e usar algumas regras básicas de derivação. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O símbolo representa o valor absoluto de , que é sempre positivo ou zero. Assim, a função dentro da raiz quadrada está sempre positiva, garantindo que a função esteja bem definida para todos os valores de .

Passo 3

Como queremos encontrar as derivadas laterais no ponto , vamos analisar o comportamento da função à esquerda e à direita desse ponto. Isso porque, ao redor de , a expressão muda de sinal, o que pode afetar a derivada.

Passo 4

Vamos primeiro calcular a derivada quando se aproxima de 2 pela direita, ou seja, quando . Nessa região, . Então, a função fica:
Agora, vamos derivar :
Agora, avaliamos a derivada no ponto :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada quando se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, quando . Nesse caso, . Então, a função fica:
Derivando :
Agora, avaliamos a derivada no ponto :

Resposta

As derivadas laterais da função no ponto são:

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