Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas laterais da função
no ponto
. Isso envolve entender o que são derivadas laterais, como calcular derivadas de funções com valor absoluto e usar algumas regras básicas de derivação. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O símbolo
representa o valor absoluto de
, que é sempre positivo ou zero. Assim, a função dentro da raiz quadrada está sempre positiva, garantindo que a função
esteja bem definida para todos os valores de
.
Passo 3
Como queremos encontrar as derivadas laterais no ponto
, vamos analisar o comportamento da função à esquerda e à direita desse ponto. Isso porque, ao redor de
, a expressão
muda de sinal, o que pode afetar a derivada.
Passo 4
Vamos primeiro calcular a derivada quando
se aproxima de 2 pela direita, ou seja, quando
. Nessa região,
. Então, a função fica:
Agora, vamos derivar
:
Agora, avaliamos a derivada no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada quando
se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, quando
. Nesse caso,
. Então, a função fica:
Derivando
:
Agora, avaliamos a derivada no ponto
:
Resposta
As derivadas laterais da função
no ponto
são:
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Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada:
Mostre que
é contínua em
, mas não é derivável neste ponto.
Seja
a função dada por
. Verifique se
é derivável em