Seja
. Verifique se
é derivável em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
f(x)
que muda de expressão dependendo do valor de x
. O objetivo é verificar se essa função é derivável em x = 0
. Para isso, vamos precisar saber o que é derivada e como verificar a derivabilidade em um ponto específico usando limites laterais.Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
x = a
se o limite da taxa de variação da função quando x
se aproxima de a
existe e é o mesmo tanto pela esquerda quanto pela direita.Passo 3
Vamos calcular a derivada pela esquerda de
x = 0
. Isso significa que vamos olhar para os valores de x
que se aproximam de 0
pelo lado negativo (menores que 0).A função para
x ≤ 0
é:A derivada pela esquerda é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de
x = 0
. Aqui consideramos os valores de x
que se aproximam de 0
pelo lado positivo (maiores que 0).A função para
x > 0
é:A derivada pela direita é:
Substituindo os valores:
Aqui percebemos que
tende ao infinito quando
h
se aproxima de 0
pela direita. Portanto:Passo 5
Comparando as derivadas laterais:
- Derivada pela esquerda:
0
- Derivada pela direita:
+∞
Como os limites não são iguais, concluímos que a derivada não existe em
x = 0
.Resposta
Não, a função
f
não é derivável em x = 0
.Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada: