Seja . Verifique se é derivável em .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função f(x) que muda de expressão dependendo do valor de x. O objetivo é verificar se essa função é derivável em x = 0. Para isso, vamos precisar saber o que é derivada e como verificar a derivabilidade em um ponto específico usando limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em x = a se o limite da taxa de variação da função quando x se aproxima de a existe e é o mesmo tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela esquerda de x = 0. Isso significa que vamos olhar para os valores de x que se aproximam de 0 pelo lado negativo (menores que 0).
A função para x ≤ 0 é:
A derivada pela esquerda é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela direita de x = 0. Aqui consideramos os valores de x que se aproximam de 0 pelo lado positivo (maiores que 0).
A função para x > 0 é:
A derivada pela direita é:
Substituindo os valores:
Aqui percebemos que tende ao infinito quando h se aproxima de 0 pela direita. Portanto:

Passo 5

Comparando as derivadas laterais:
  • Derivada pela esquerda: 0
  • Derivada pela direita: +∞
Como os limites não são iguais, concluímos que a derivada não existe em x = 0.

Resposta

Não, a função f não é derivável em x = 0.

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Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
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Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados:
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