Encontre o domínio e a imagem de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função
. Isso faz parte do estudo de funções na matemática, especificamente analisando onde a função está definida e quais valores ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida, ou seja, não causa problemas como divisão por zero ou raízes de números negativos.
Passo 3
Olha só a nossa função:
. O único lugar onde pode dar problema é o denominador da fração, que é
. Precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero é indefinido.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para ver se existe algum valor de
que faça o denominador zero:
Passo 5
Aqui percebemos que
não tem solução real, porque o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Assim, nunca teremos divisão por zero nessa função!
Passo 6
Então, o domínio da função são todos os números reais, já que não há restrições. Em notação matemática:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de
. Para isso, vamos analisar como a expressão
se comporta.
Passo 8
Observamos que
é sempre maior ou igual a zero, então
será sempre maior ou igual a 4. Assim, a fração
sempre será entre 0 e 1. Mais especificamente:
Passo 9
Agora, somamos 2 a essa fração:
Resposta
Portanto, o domínio da função é
(todos os números reais) e a imagem é o intervalo
.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio e faça o gráfico das funções nos exercícios abaixo:
Resolva cada item: Encontre um fator de integração
para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.
Faça os gráficos das funções abaixo.
Determine a derivada de
, utilizando a o)