Encontre o domínio e a imagem de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função . Isso faz parte do estudo de funções na matemática, especificamente analisando onde a função está definida e quais valores ela pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está bem definida, ou seja, não causa problemas como divisão por zero ou raízes de números negativos.

Passo 3

Olha só a nossa função: . O único lugar onde pode dar problema é o denominador da fração, que é . Precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero é indefinido.

Passo 4

Vamos resolver a equação para ver se existe algum valor de que faça o denominador zero:

Passo 5

Aqui percebemos que não tem solução real, porque o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Assim, nunca teremos divisão por zero nessa função!

Passo 6

Então, o domínio da função são todos os números reais, já que não há restrições. Em notação matemática:
í

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de . Para isso, vamos analisar como a expressão se comporta.

Passo 8

Observamos que é sempre maior ou igual a zero, então será sempre maior ou igual a 4. Assim, a fração sempre será entre 0 e 1. Mais especificamente:

Passo 9

Agora, somamos 2 a essa fração:

Resposta

Portanto, o domínio da função é (todos os números reais) e a imagem é o intervalo .

Exercícios relacionados

Encontre o domínio e faça o gráfico das funções nos exercícios abaixo:
Resolva cada item: Encontre um fator de integração para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.
Faça os gráficos das funções abaixo.
Determine a derivada de , utilizando a o)