Determine a derivada de f , utilizando a u)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com o cálculo de derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e como aplicar a Regra da Cadeia quando temos uma função dentro de outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função dada é
. Aqui, temos uma função trigonométrica, o cosseno, aplicada a
, que por sua vez é uma função linear. Isso significa que temos uma função composta: o cosseno de uma função linear.
Passo 3
Agora, vamos relembrar a Regra da Cadeia. Essa regra é usada para derivar funções compostas e diz o seguinte:
Se temos uma função composta
, então a derivada
é:
Isso significa que derivamos a função externa
em relação à função interna
e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 4
Aplicando a Regra da Cadeia à nossa função
, vamos identificar:
- Função externa:
, onde - Função interna:
Primeiro, derivamos a função externa em relação a
:
Passo 5
Em seguida, derivamos a função interna
em relação a
:
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia combinando as duas derivadas que encontramos:
Substituindo
:
Resposta
A derivada da função
é:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“20.008ex” height=“2.646ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -919.5 8843.7 1169.5”><title>f(z) = raiz(1 + arcsen(z))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“66” d=“M273 0Q255 3 146 3Q43 3 34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q99 52 103 60Q104 62 104 224V385H33V431H104V497L105 564L107 574Q126 639 171 668T266 704Q267 704 275 704T289 705Q330 702 351 679T372 627Q372 604 358 590T321 576T284 590T270 627Q270 647 288 667H284Q280 668 273 668Q245 668 223 647T189 592Q183 572 182 497V431H293V385H185V225Q185 63 186 61T189 57T194 54T199 51T206 49T213 48T222 47T231 47T241 46T251 46H282V0H273Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(372,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 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310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z” transform=“translate(2174,0)”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(4619.1,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“7A” d=“M42 263Q44 270 48 345T53 423V431H393Q399 425 399 415Q399 403 398 402L381 378Q364 355 331 309T265 220L134 41L182 40H206Q254 40 283 46T331 77Q352 105 359 185L361 201Q361 202 381 202H401V196Q401 195 393 103T384 6V0H209L34 1L31 3Q28 8 28 17Q28 30 29 31T160 210T294 394H236Q169 393 152 388Q127 382 113 367Q89 344 82 264V255H42V263Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0,59.5)”><path data-c=“221A” d=“M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 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<html><head></head><body><div>Determine a derivada de f , utilizando a a) <span class="math-inline ">
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