Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função e depois aplicar isso nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A fórmula básica para a derivada de é:
Aqui, , então aplicando a fórmula:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Basta substituir por 1 na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 2.

Passo 4

Com a inclinação e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo , e :

Resposta

A equação da reta tangente é:

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Seja .
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).
Determine a derivada de usando a definição de derivada.
Calcule o seguinte limite:
Calcule a área da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo x e pelas retas e .