Determine a derivada:
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente determinar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com o cálculo diferencial, que é uma parte da matemática que nos ajuda a entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar usar duas regras principais: a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que temos na nossa função. A função
é o produto de duas funções:
e
. Então, pela regra do produto, a derivada de um produto de duas funções é dada por:
Precisamos calcular
,
e substituir na fórmula.
Passo 3
Começando pelo
:
- Se
, a derivada é dada por . Isso é uma aplicação direta da regra do expoente.
Agora vamos para o
, que é um pouco mais complicado, porque envolve a função
. Para a diferença do
, precisamos usar a regra da cadeia, já que temos
. A derivada da
é:
Então, a derivada de
será:
Aqui,
é o que chamamos de “derivada da parte interna” pelo uso da regra da cadeia. Agora, simplificando, temos:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos escrever a derivada
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
Agora, juntando tudo, a derivada final da função
é: