Determine a derivada:
f(x)=x^2 arctg(4 x).

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente determinar a derivada da função f(x)=x^2 arctg(4x). Aqui, estamos lidando com o cálculo diferencial, que é uma parte da matemática que nos ajuda a entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar usar duas regras principais: a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que temos na nossa função. A função f(x) é o produto de duas funções: u(x) = x^2 e v(x) = arctg(4x). Então, pela regra do produto, a derivada de um produto de duas funções é dada por:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Precisamos calcular u'(x), v'(x) e substituir na fórmula.

Passo 3

Começando pelo u'(x):
  • Se u(x) = x^2, a derivada u'(x) é dada por 2x. Isso é uma aplicação direta da regra do expoente.
Agora vamos para o v(x), que é um pouco mais complicado, porque envolve a função arctg(x). Para a diferença do v(x), precisamos usar a regra da cadeia, já que temos arctg(4x). A derivada da arctg(x) é:
ddx arctg(x) = 11+x^2
Então, a derivada de v(x) será:
v'(x) = 11+(4x)^2 cdot (4)
Aqui, 4 é o que chamamos de “derivada da parte interna” pelo uso da regra da cadeia. Agora, simplificando, temos:
v'(x) = 41+16x^2

Passo 4

Agora que temos u'(x) e v'(x), podemos escrever a derivada f'(x):
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = (2x) cdot arctg(4x) + (x^2) cdot 41+16x^2

Resposta

Agora, juntando tudo, a derivada final da função f(x) é:
f'(x) = 2x arctg(4x) + 4x^21+16x^2

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