Determine a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo, mais especificamente, derivadas de funções compostas. Vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é essencial para derivar funções que estão “dentro” de outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função. Temos uma função externa, que é o cosseno, , e uma função interna, que é a exponencial, . A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções compostas dessa forma.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz que a derivada de é . Aplicando isso à nossa função:
  • A derivada da função externa em relação a é .
  • A derivada da função interna em relação a é .

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando essas duas derivadas:

Resposta

A derivada da função é .

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Determine a derivada.
Uma projeção, válida para 5 anos, revela que daqui a anos a população de certo bairro será mil habitantes.
Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será mínima?
Determine e .
Esboce os gráficos de e .