Esboce os gráficos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes:
O nosso objetivo é desenhar os gráficos de , da primeira derivada e da segunda derivada . Para isso, vamos precisar entender como funciona derivação de funções por partes e como representar graficamente essas funções e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta. Ela tem duas “regras” diferentes dependendo do valor de :
  1. Para , a função é .
  2. Para , a função é .
Vamos esboçar o gráfico de considerando essas duas partes.

Passo 3

Vamos desenhar cada parte da função separadamente.
  • Para : A função é uma parábola. Sabemos que uma parábola tem a forma . Aqui, , , . Podemos plotar alguns pontos:
    • :
    • :
    • :
  • Para : A função é uma reta. Vamos plotar alguns pontos:
    • :
    • :
Agora, unimos essas duas partes no gráfico.

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
  • Para : Derivando :
  • Para : Derivando :
Então, a primeira derivada é uma função por partes também, com uma expressão diferente em cada intervalo.

Passo 5

Vamos agora calcular a segunda derivada , que indica a concavidade da função ou a aceleração da variação da inclinação.
  • Para : Derivando :
  • Para : Derivando :
Então, a segunda derivada também é uma função por partes, constante em cada intervalo.

Passo 6

Vamos resumir as derivadas:
  • Primeira Derivada :
  • Segunda Derivada :
Com essas informações, já podemos esboçar os gráficos de , e .

Resposta

Assim, após seguir os passos, temos os gráficos de , e desenhados de acordo com as funções definidas por partes e suas derivadas. A função é uma combinação de uma parábola e uma reta, a primeira derivada mostra a inclinação variando conforme cada parte da função original, e a segunda derivada indica a concavidade da parábola e a reta constante.

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Determine e .
Determine a derivada.
Determine e .
Determine a derivada de ordem .