Esboce os gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes:
O nosso objetivo é desenhar os gráficos de
, da primeira derivada
e da segunda derivada
. Para isso, vamos precisar entender como funciona derivação de funções por partes e como representar graficamente essas funções e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta. Ela tem duas “regras” diferentes dependendo do valor de
:
- Para
, a função é . - Para
, a função é .
Vamos esboçar o gráfico de
considerando essas duas partes.
Passo 3
Vamos desenhar cada parte da função separadamente.
-
Para
: A função é uma parábola. Sabemos que uma parábola tem a forma . Aqui, , , . Podemos plotar alguns pontos: -
: -
: -
:
-
-
Para
: A função é uma reta. Vamos plotar alguns pontos: -
: -
:
-
Agora, unimos essas duas partes no gráfico.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
-
Para
: Derivando : -
Para
: Derivando :
Então, a primeira derivada é uma função por partes também, com uma expressão diferente em cada intervalo.
Passo 5
Vamos agora calcular a segunda derivada
, que indica a concavidade da função ou a aceleração da variação da inclinação.
-
Para
: Derivando : -
Para
: Derivando :
Então, a segunda derivada também é uma função por partes, constante em cada intervalo.
Passo 6
Vamos resumir as derivadas:
-
Primeira Derivada
: -
Segunda Derivada
:
Com essas informações, já podemos esboçar os gráficos de
,
e
.
Resposta
Assim, após seguir os passos, temos os gráficos de
,
e
desenhados de acordo com as funções definidas por partes e suas derivadas. A função
é uma combinação de uma parábola e uma reta, a primeira derivada
mostra a inclinação variando conforme cada parte da função original, e a segunda derivada
indica a concavidade da parábola e a reta constante.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Determine a derivada.
Determine
e
.
Determine a derivada de ordem
.