Determine a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar a derivada de . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Pra resolver, vamos precisar saber como derivar funções compostas, como a exponencial e a função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas. Aqui, temos a função exponencial , onde . A regra da cadeia nos diz que, se você tem uma função composta como , a derivada dela em relação a é vezes a derivada de em relação a .

Passo 3

Então, vamos aplicar a regra da cadeia. Primeiro, derivamos a função externa em relação a , que continua sendo . Depois, multiplicamos pela derivada da função interna . A derivada de é .

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada de em relação a fica:

Resposta

A derivada de em relação a é .

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Uma projeção, válida para 5 anos, revela que daqui a anos a população de certo bairro será mil habitantes.
Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será mínima?
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Determine a derivada.
Determine e .