Uma projeção, válida para 5 anos, revela que daqui a
anos a população de certo bairro será
mil habitantes.
Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será mínima?
Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será mínima?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a população de um bairro ao longo de 5 anos:
Aqui,
representa o tempo em anos, e
é a população em milhares de habitantes. A pergunta quer saber em que momento, dentro desses 5 anos, a taxa de crescimento da população é a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a taxa de crescimento e descobrir onde ela atinge o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a taxa de crescimento da população é a derivada da função
. A derivada nos dá a velocidade de mudança da população ao longo do tempo. Então, vamos calcular
:
Passo 3
Agora que temos
, queremos achar o valor de
que minimiza essa expressão no intervalo de 0 a 5 anos. Para encontrar extremos (mínimos ou máximos) de uma função, a gente procura os pontos onde a derivada segunda é zero ou não existe.
Passo 4
Vamos então calcular a segunda derivada de
, que é a derivada de
:
Para encontrar possíveis valores de
onde a taxa de crescimento pode ter um mínimo, vamos igualar
a zero:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se
realmente corresponde a um mínimo da função
. Para isso, observamos o sinal da segunda derivada antes e depois de
:
-
Para
, digamos : (positivo) -
Para
, digamos : (negativo)
Como
muda de positivo para negativo passando por zero em
, isso indica que
é um ponto de máximo para
. No entanto, como estamos procurando o mínimo da taxa de crescimento, precisamos analisar os limites do intervalo.
Passo 6
Vamos avaliar
nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
:
-
Em
: -
Em
:
Observamos que o menor valor de
ocorre em
, com uma taxa de crescimento de 48 mil habitantes por ano.
Resposta
Dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população é mínima no instante de
anos.
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Esboce o gráfico das seguintes funções:
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Determine a derivada.
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