Uma projeção, válida para 5 anos, revela que daqui a anos a população de certo bairro será mil habitantes.
Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será mínima?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a população de um bairro ao longo de 5 anos:
Aqui, representa o tempo em anos, e é a população em milhares de habitantes. A pergunta quer saber em que momento, dentro desses 5 anos, a taxa de crescimento da população é a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a taxa de crescimento e descobrir onde ela atinge o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a taxa de crescimento da população é a derivada da função . A derivada nos dá a velocidade de mudança da população ao longo do tempo. Então, vamos calcular :

Passo 3

Agora que temos , queremos achar o valor de que minimiza essa expressão no intervalo de 0 a 5 anos. Para encontrar extremos (mínimos ou máximos) de uma função, a gente procura os pontos onde a derivada segunda é zero ou não existe.

Passo 4

Vamos então calcular a segunda derivada de , que é a derivada de :
Para encontrar possíveis valores de onde a taxa de crescimento pode ter um mínimo, vamos igualar a zero:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se realmente corresponde a um mínimo da função . Para isso, observamos o sinal da segunda derivada antes e depois de :
  • Para , digamos :
    (positivo)
  • Para , digamos :
    (negativo)
Como muda de positivo para negativo passando por zero em , isso indica que é um ponto de máximo para . No entanto, como estamos procurando o mínimo da taxa de crescimento, precisamos analisar os limites do intervalo.

Passo 6

Vamos avaliar nos extremos do intervalo, ou seja, em e :
  • Em :
  • Em :
Observamos que o menor valor de ocorre em , com uma taxa de crescimento de 48 mil habitantes por ano.

Resposta

Dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população é mínima no instante de anos.

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Determine a derivada.
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