Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a primeira e a segunda derivada dela, ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivação, especialmente como lidar com funções que envolvem valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto de , representado por , garante que o resultado seja sempre não negativo. Então, a função pode ser reescrita de forma diferente dependendo do valor de :
Se , então , então .
Se , então , então .
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada . A derivada de é e a derivada de é . Então, considerando os intervalos:
Se , .
Se , .
Passo 4
Precisamos também considerar o ponto . Vamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Observando os limites da derivada à direita e à esquerda de 0:
Limite pela direita: .
Limite pela esquerda: .
Como os limites são iguais, a derivada em também é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada . Derivando :
Se , então .
Se , então .
Passo 6
Verificamos novamente o ponto para a segunda derivada. Como a primeira derivada é contínua em 0 e as derivadas à direita e à esquerda são constantes diferentes, a segunda derivada não existe em .