Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a primeira e a segunda derivada dela, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivação, especialmente como lidar com funções que envolvem valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto de
, representado por
, garante que o resultado seja sempre não negativo. Então, a função
pode ser reescrita de forma diferente dependendo do valor de
:
- Se
, então , então . - Se
, então , então .
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, considerando os intervalos:
- Se
, . - Se
, .
Passo 4
Precisamos também considerar o ponto
. Vamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Observando os limites da derivada à direita e à esquerda de 0:
- Limite pela direita:
. - Limite pela esquerda:
.
Como os limites são iguais, a derivada em
também é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Derivando
:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 6
Verificamos novamente o ponto
para a segunda derivada. Como a primeira derivada é contínua em 0 e as derivadas à direita e à esquerda são constantes diferentes, a segunda derivada não existe em
.
Resposta
A primeira derivada de
é:
E a segunda derivada é: