Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a primeira e a segunda derivada dela, ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivação, especialmente como lidar com funções que envolvem valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto de , representado por , garante que o resultado seja sempre não negativo. Então, a função pode ser reescrita de forma diferente dependendo do valor de :
  • Se , então , então .
  • Se , então , então .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada . A derivada de é e a derivada de é . Então, considerando os intervalos:
  • Se , .
  • Se , .

Passo 4

Precisamos também considerar o ponto . Vamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Observando os limites da derivada à direita e à esquerda de 0:
  • Limite pela direita: .
  • Limite pela esquerda: .
Como os limites são iguais, a derivada em também é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Derivando :
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 6

Verificamos novamente o ponto para a segunda derivada. Como a primeira derivada é contínua em 0 e as derivadas à direita e à esquerda são constantes diferentes, a segunda derivada não existe em .

Resposta

A primeira derivada de é:
E a segunda derivada é:
ã

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Determine a derivada.
Determine a derivada.
Esboce os gráficos de e .
Determine e .