Determine a derivada. f(x) = cossec(1/x)

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Isso está relacionado ao estudo das derivadas em cálculo, especialmente utilizando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar conhecer a derivada da função cosseno-secante e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Aqui, usamos que .

Passo 3

Agora, para derivar , vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra da cadeia afirma que se , então .

Passo 4

Identificamos as funções compostas:

Passo 5

Primeiro, derivamos em relação a :
Aqui, usamos que a derivada de é .

Passo 6

Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:
Os sinais negativos se cancelam, simplificando para:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais sabendo que e :

Resposta

A derivada da função é:

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