Determine a derivada da função ) no ponto de abscissa 5 , sabendo que e está definida pela equação . (Valor: 0,2).

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar a derivada da função inversa de , denotada por , no ponto onde a abscissa é 5. Vamos usar o conceito de derivadas de funções inversas e a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função dada: . Para encontrar a derivada da função inversa, precisamos da derivada de , ou seja, .

Passo 3

Calculando a derivada de :

Passo 4

A fórmula para a derivada da função inversa é:
Neste caso, queremos .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão:
Calculando :

Passo 7

Finalmente, a derivada é:

Resposta

A derivada da função inversa no ponto de abscissa 5 é aproximadamente .

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