Determine
, sabendo que
(Valor: 0,2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da inversa da função
no ponto
, ou seja,
. A função dada é:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas, funções inversas e a regra da cadeia para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, lembramos que se
é uma função inversa de
, então:
Ao derivarmos ambos os lados em relação a
, obtemos:
Isso significa que:
No nosso caso, queremos
, então precisamos encontrar
.
Passo 3
Para encontrar
, procuramos o valor de
que faz
:
Sabemos que o produto é zero se pelo menos um dos fatores for zero. O termo
quando
. Vamos verificar se
:
Portanto,
.
Passo 4
Agora precisamos calcular
, a derivada de
em
. Vamos derivar
:
Usaremos a regra do produto para derivar:
Calculando cada parte:
E para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
onde
. Então:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
:
Primeiro, calculamos cada parte em :
Primeiro, calculamos cada parte em
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Para simplificar, podemos calcular numericamente os valores:
Sabemos que é aproximadamente
radianos. Então:
Sabemos que
Resposta
Portanto, a derivada da inversa da função
no ponto
é aproximadamente:
(Note que o valor fornecido no enunciado é 0,2, mas de acordo com os cálculos detalhados, o valor estimado é aproximadamente 0,695.)
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Determine
, sendo
(Valor: 0,2).
Determine
, sabendo que
(Valor: 0,2
Determine a derivada da função
) no ponto de abscissa 5 , sabendo que
e
está definida pela equação
. (Valor: 0,2).