Determine , sabendo que (Valor: 0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da inversa da função no ponto , ou seja, . A função dada é:
Vamos precisar usar conceitos de derivadas, funções inversas e a regra da cadeia para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se é uma função inversa de , então:
Ao derivarmos ambos os lados em relação a , obtemos:
Isso significa que:
No nosso caso, queremos , então precisamos encontrar .

Passo 3

Para encontrar , procuramos o valor de que faz :
Sabemos que o produto é zero se pelo menos um dos fatores for zero. O termo quando . Vamos verificar se :
Portanto, .

Passo 4

Agora precisamos calcular , a derivada de em . Vamos derivar :
Usaremos a regra do produto para derivar:
Calculando cada parte:
E para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
onde . Então:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos avaliar :
Primeiro, calculamos cada parte em :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Para simplificar, podemos calcular numericamente os valores:
Sabemos que é aproximadamente radianos. Então:

Resposta

Portanto, a derivada da inversa da função no ponto é aproximadamente:
(Note que o valor fornecido no enunciado é 0,2, mas de acordo com os cálculos detalhados, o valor estimado é aproximadamente 0,695.)

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