Prove pela definiçāo que:
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para provar, pela definição, que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a definição de limite usando
e
. Precisaremos entender como relacionar
(a precisão desejada) com
(a proximidade que
deve estar de
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que para todo
, existe um
tal que, se
, então
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar aplicando a definição. Precisamos garantir que:
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Portanto, queremos que:
Passo 4
Agora, queremos isolar
. Dividindo ambos os lados da desigualdade por
:
Isso nos dá uma relação direta entre
e
. Queremos que se
, então
. Observando a última desigualdade, podemos escolher:
Passo 5
Agora, juntando tudo, para qualquer
, escolhemos
. Assim, se
, então:
Isso demonstra que o limite de
quando
se aproxima de
é realmente
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a derivada da função
) no ponto de abscissa 5 , sabendo que
e
está definida pela equação
. (Valor: 0,2).
Determine, caso existam os seguintes limites:
Determine, caso existam os seguintes limites: