Prove pela definiçāo que: lim x -1(-3 x+7)=10.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para provar, pela definição, que o limite de -3x + 7 quando x se aproxima de -1 é igual a 10. Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a definição de limite usando varepsilon e de. Precisaremos entender como relacionar varepsilon (a precisão desejada) com de (a proximidade que x deve estar de -1).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que limx to a f(x) = L. Isso quer dizer que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que, se 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon. No nosso caso, a = -1, f(x) = -3x + 7 e L = 10.

Passo 3

Vamos começar aplicando a definição. Precisamos garantir que:
|(-3x + 7) - 10| < varepsilon
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
|-3x + 7 - 10| = |-3x - 3| = 3|x + 1|
Portanto, queremos que:
3|x + 1| < varepsilon

Passo 4

Agora, queremos isolar |x + 1|. Dividindo ambos os lados da desigualdade por 3:
|x + 1| < varepsilon3
Isso nos dá uma relação direta entre varepsilon e de. Queremos que se |x + 1| < de, então |f(x) - 10| < varepsilon. Observando a última desigualdade, podemos escolher:
de

Passo 5

Agora, juntando tudo, para qualquer varepsilon > 0, escolhemos de. Assim, se 0 < |x + 1| < de, então:
|f(x) - 10| = 3|x + 1| < 3 cdot varepsilon3 = varepsilon
Isso demonstra que o limite de -3x + 7 quando x se aproxima de -1 é realmente 10.

Resposta

lim x -1(-3 x+7)=10 está provado pela definição.

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