Prove pela definiçāo que: .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para provar, pela definição, que o limite de quando se aproxima de é igual a . Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a definição de limite usando e . Precisaremos entender como relacionar (a precisão desejada) com (a proximidade que deve estar de ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que para todo , existe um tal que, se , então . No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos começar aplicando a definição. Precisamos garantir que:
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Portanto, queremos que:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Dividindo ambos os lados da desigualdade por :
Isso nos dá uma relação direta entre e . Queremos que se , então . Observando a última desigualdade, podemos escolher:

Passo 5

Agora, juntando tudo, para qualquer , escolhemos . Assim, se , então:
Isso demonstra que o limite de quando se aproxima de é realmente .

Resposta

está provado pela definição.

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