ponto
Se
, em qual(is) intervalo(s)
é crescente e descrescente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos essa função está crescendo e decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de
. A derivada de uma integral com limite variável é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
Passo 3
Agora que temos a expressão para
, vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa, já que:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
A derivada
é o produto de dois fatores:
e
.
Passo 4
Analisando cada fator:
-
: Essa função é sempre positiva para qualquer valor de , porque o expoente nunca faz o resultado ser negativo. -
: Aqui precisamos ver quando essa expressão é positiva ou negativa: - Positiva quando
⟹ ⟹ - Negativa quando
⟹ ⟹
- Positiva quando
Passo 5
Como
é sempre positivo, o sinal de
depende apenas de
:
-
Para
: -
e ⟹ ⟹ está crescendo.
-
-
Para
: -
e ⟹ ⟹ está decrescendo.
-
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
e decrescendo nos intervalos
e
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada da função
) no ponto de abscissa 5 , sabendo que
e
está definida pela equação
. (Valor: 0,2).
Determine
, sabendo que
(Valor: 0,2)
Prove pela definiçāo que:
.
Determine, caso existam os seguintes limites: