ponto Se , em qual(is) intervalo(s) é crescente e descrescente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos essa função está crescendo e decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de . A derivada de uma integral com limite variável é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:

Passo 3

Agora que temos a expressão para , vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa, já que:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
A derivada é o produto de dois fatores: e .

Passo 4

Analisando cada fator:
  1. : Essa função é sempre positiva para qualquer valor de , porque o expoente nunca faz o resultado ser negativo.
  2. : Aqui precisamos ver quando essa expressão é positiva ou negativa:
    • Positiva quando
    • Negativa quando

Passo 5

Como é sempre positivo, o sinal de depende apenas de :
  • Para :
    • e está crescendo.
  • Para :
    • e está decrescendo.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e decrescendo nos intervalos e .

Exercícios relacionados

Determine a derivada da função ) no ponto de abscissa 5 , sabendo que e está definida pela equação . (Valor: 0,2).
Determine , sabendo que (Valor: 0,2)
Prove pela definiçāo que: .
Determine, caso existam os seguintes limites: