(1,5 ponto ) Se f(x)=integral0^x(1-t^2) e^-t^2 dt, em qual(is) intervalo(s) f(x) é crescente e descrescente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função definida por uma integral:
f(x) = integral0^x (1 - t^2) e^-t^2 , dt
Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos essa função está crescendo e decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de f'(x) = (1 - x^2) e^-x^2 . A derivada de uma integral com limite variável é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:

Passo 3

Agora que temos a expressão para , vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa, já que:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
A derivada é o produto de dois fatores: e .

Passo 4

Analisando cada fator:
  1. : Essa função é sempre positiva para qualquer valor de , porque o expoente nunca faz o resultado ser negativo.
  2. : Aqui precisamos ver quando essa expressão é positiva ou negativa:
    • Positiva quando
    • Negativa quando

Passo 5

Como é sempre positivo, o sinal de depende apenas de :
  • Para :
    • e está crescendo.
  • Para :
    • e está decrescendo.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e decrescendo nos intervalos e .

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