Resolva as integrais usando métodos adequados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica fundamental no cálculo para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que, se substituída, vai simplificar a expressão. Observando a integral
, percebemos que a expressão
está dentro da raiz. Isso sugere que podemos fazer uma substituição com
.
Passo 3
Vamos definir a substituição
. Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Isso nos ajuda a substituir
na integral original.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em termos de
. Primeiro, observe que
pode ser escrito como
. Sabemos que
(já que
), então:
Substituindo tudo na integral:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Vamos expandir
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos para a variável original
substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a:
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Calcule a derivada da função:
Utilize coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado pelos cilindros
Determine a derivada da função
.