Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica fundamental no cálculo para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que, se substituída, vai simplificar a expressão. Observando a integral , percebemos que a expressão está dentro da raiz. Isso sugere que podemos fazer uma substituição com .

Passo 3

Vamos definir a substituição . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, resolvemos para :
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 5

Vamos reescrever a integral em termos de . Primeiro, observe que pode ser escrito como . Sabemos que (já que ), então:
Substituindo tudo na integral:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Vamos expandir :
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule a derivada da função:
Utilize coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado pelos cilindros
Determine a derivada da função .