Resolva as integrais usando métodos adequados: integral x^5 d xraiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica fundamental no cálculo para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que, se substituída, vai simplificar a expressão. Observando a integral , percebemos que a expressão está dentro da raiz. Isso sugere que podemos fazer uma substituição com .

Passo 3

Vamos definir a substituição du = -2x , dx . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, resolvemos para - 12 du = x , dx :
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 5

Vamos reescrever a integral em termos de x^4 = (x^2)^2 = (1 - u)^2 . Primeiro, observe que integral x^5 dxraiz1 - x^2 = integral (1 - u)^2 cdot x , dxraizu = integral (1 - u)^2 cdot (-12 du)raizu pode ser escrito como . Sabemos que (já que ), então:
Substituindo tudo na integral:

Passo 6

Simplificando a expressão:
- 12 integral (1 - u)^2raizu , du
Vamos expandir (1 - u)^2 = 1 - 2u + u^2 :
- 12 integral 1 - 2u + u^2raizu , du = - 12 integral ( u^-1/2 - 2u^1/2 + u^3/2 ) du
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
- 12 ( integral u^-1/2 du - 2 integral u^1/2 du + integral u^3/2 du )
Calculando cada integral:
integral u^-1/2 du = 2u^1/2
integral u^1/2 du = 23u^3/2
integral u^3/2 du = 25u^5/2
Substituindo de volta:
- 12 ( 2u^1/2 - 2 cdot 23u^3/2 + 25u^5/2 ) = - 12 ( 2u^1/2 - 43u^3/2 + 25u^5/2 )
Simplificando:
- u^1/2 + 23u^3/2 - 15u^5/2 + C

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original - raiz1 - x^2 + 23(1 - x^2)^3/2 - 15(1 - x^2)^5/2 + C substituindo :

Resposta

A integral - raiz1 - x^2 + 23(1 - x^2)^3/2 - 15(1 - x^2)^5/2 + C é igual a:

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