Utilize coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado pelos cilindros
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume usando coordenadas cilíndricas. O problema nos pede para encontrar o volume do sólido que é limitado pelos cilindros
e
. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar a integral para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Elas são representadas por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada nas coordenadas cartesianas.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as equações dos cilindros no problema:
- O cilindro
em coordenadas cilíndricas fica , ou seja, . Isso significa que esse cilindro tem raio 1 e se estende indefinidamente ao longo do eixo . - O cilindro
se transforma em , o que simplifica para .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de 0 a 1, porque o cilindro define o limite máximo. -
varia de 0 a para cobrir toda a volta em torno do eixo . - Para cada
, varia de a , de acordo com a equação do segundo cilindro.
Passo 5
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume
:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a
. A integral em
fica:
Passo 7
Substituindo essa parte na integral, temos:
Passo 8
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração apropriadas, como substituição trigonométrica ou coordenadas polares adicionais. Após resolver a integral, encontramos o valor do volume.
Resposta
O volume do sólido é
.
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.
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