Utilize coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado pelos cilindros

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume usando coordenadas cilíndricas. O problema nos pede para encontrar o volume do sólido que é limitado pelos cilindros e . Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar a integral para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Elas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada nas coordenadas cartesianas.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos analisar as equações dos cilindros no problema:
  1. O cilindro em coordenadas cilíndricas fica , ou seja, . Isso significa que esse cilindro tem raio 1 e se estende indefinidamente ao longo do eixo .
  2. O cilindro se transforma em , o que simplifica para .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de 0 a 1, porque o cilindro define o limite máximo.
  • varia de 0 a para cobrir toda a volta em torno do eixo .
  • Para cada , varia de a , de acordo com a equação do segundo cilindro.

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume :

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a . A integral em fica:

Passo 7

Substituindo essa parte na integral, temos:

Passo 8

Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração apropriadas, como substituição trigonométrica ou coordenadas polares adicionais. Após resolver a integral, encontramos o valor do volume.

Resposta

O volume do sólido é .

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