Determine a derivada da função vetorial.
b) r(t) = (t, cos(2t), sen(2t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função vetorial . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções vetoriais. Pra resolver, a gente precisa saber como derivar funções componentizadas, ou seja, derivar cada parte da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro componente da função vetorial: . A derivada de em relação a é bem simples. Lembra que a derivada de é . Aqui, , então:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: . Pra derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então:

Passo 4

Por fim, vamos para o terceiro componente: . Da mesma forma que na função cosseno, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então:

Resposta

Juntando tudo, a derivada da função vetorial é:

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