Mostre que A é um subconjunto de um conjunto universo U, então
A ⊕ ∅ = A.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto A que é um subconjunto de um conjunto universo U. A questão quer que a gente mostre que a diferença simétrica de A com o conjunto vazio é igual a A, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é a diferença simétrica e entender como ela funciona com conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença simétrica. A diferença simétrica entre dois conjuntos, A e B, é o conjunto dos elementos que estão em A ou em B, mas não em ambos. Em símbolos, isso é escrito como:
Ou seja, pegamos os elementos que estão somente em A e os que estão somente em B, e juntamos esses dois conjuntos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso específico onde B é o conjunto vazio . Primeiro, vamos calcular . Isso significa todos os elementos que estão em A mas não estão em . Como não há elementos no conjunto vazio, todos os elementos de A permanecem. Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular . Isso significa todos os elementos que estão em mas não estão em A. Como não tem elementos, esse conjunto também será vazio:

Passo 5

Agora, juntamos os dois resultados usando a união:
Sabemos que a união de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto. Portanto:

Resposta

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