Determine a derivada da função vetorial.
r(t) = ln(4 - t^2) i + raiz(1 + t) j - 4 e^(3t) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função vetorial . O conteúdo que vamos usar aqui é o de derivadas de funções vetoriais, e para isso, precisamos saber como derivar cada componente da função separadamente. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função vetorial que precisamos derivar:
A derivada de uma função vetorial é encontrada derivando cada componente em relação a .

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente, que é na direção de . A derivada de é . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente, que é na direção de . A derivada de é . Aqui, , então:

Passo 5

Por fim, vamos derivar a terceira componente, que é na direção de . A derivada de é . Então:

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial é:

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