Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(d) sumn=1^infty 2^n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar os testes da razão ou da raiz. Esses testes ajudam a verificar se a soma infinita realmente chega a um valor ou não.

Passo 2

Vou optar pelo teste da razão, que funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre dois termos consecutivos da série, ou seja, . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar os termos an = 2^n^2n! e an+1 = 2^(n+1)^2(n+1)! e an+1an = 2^(n+1)^2(n+1)! times n!2^n^2 = 2^(n+1)^2 - n^2n+1 = 2^2n + 1n+1 :
Agora, calculamos a razão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty 2^2n + 1n+1 tende ao infinito:
Observamos que cresce exponencialmente muito mais rápido que , que cresce apenas linearmente. Portanto, esse limite tende para infinito.

Resposta

Como o limite é maior que 1 ( ), pelo teste da razão, a série diverge.

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