Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar os testes da razão ou da raiz. Esses testes ajudam a verificar se a soma infinita realmente chega a um valor ou não.
Passo 2
Vou optar pelo teste da razão, que funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre dois termos consecutivos da série, ou seja, . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar os termos e :
Agora, calculamos a razão:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Observamos que cresce exponencialmente muito mais rápido que , que cresce apenas linearmente. Portanto, esse limite tende para infinito.
Resposta
Como o limite é maior que 1 (), pelo teste da razão, a série diverge.