Determine a derivada da função vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a derivada de uma função vetorial. A função que temos é:
Para resolver isso, precisamos saber como derivar funções vetoriais. Basicamente, derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as três componentes da função vetorial:
Vamos derivar cada uma dessas funções separadamente usando as regras de derivação que conhecemos.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente .
A derivada de em relação a é , e a derivada de uma constante é zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente .
Lembre-se que . Usando a regra da cadeia, onde a derivada de é , temos:

Passo 5

Por fim, vamos derivar a terceira componente .
Novamente, escrevendo como potência:
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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Esboce o gráfico de cada uma das funções:
Esboce o gráfico de cada uma das funções:
Simplifique:
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(n)