Determine a derivada da função vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a derivada de uma função vetorial. A função que temos é:
Para resolver isso, precisamos saber como derivar funções vetoriais. Basicamente, derivar uma função vetorial significa derivar cada uma das suas componentes individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as três componentes da função vetorial:
Vamos derivar cada uma dessas funções separadamente usando as regras de derivação que conhecemos.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente
.
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de uma constante é zero. Então:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente
.
Lembre-se que
. Usando a regra da cadeia, onde a derivada de
é
, temos:
Passo 5
Por fim, vamos derivar a terceira componente
.
Novamente, escrevendo como potência:
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
A derivada da função vetorial é:
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Esboce o gráfico de cada uma das funções:
Esboce o gráfico de cada uma das funções:
Simplifique:
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(n)
(n)