Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(n)
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Teste da comparação é uma técnica que compara a série em questão com outra série que a gente já conhece se ela converge ou diverge. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como manipular expressões com raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série:
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. Ou seja, multiplicamos por
:
Passo 3
Calculando o denominador:
Então, a expressão simplificada fica:
Como estamos lidando com séries, o sinal negativo não afeta a convergência ou divergência, então podemos considerar apenas:
Passo 4
Agora, a série original pode ser reescrita como:
Para aplicar o teste da comparação, precisamos comparar essa série com uma outra que conhecemos. Observando
, sabemos que para
grande,
se comporta como
. Então, podemos simplificar a comparação consideranda apenas
:
Passo 5
Sabemos que a série:
é uma série p com
. A série p converge se
e diverge se
. Como
, essa série diverge.
Passo 6
Como a série original:
é maior ou igual a uma série divergente, pelo teste da comparação, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Simplifique:
Determine a derivada da função vetorial.
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(d)
(d)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
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