Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Teste da comparação é uma técnica que compara a série em questão com outra série que a gente já conhece se ela converge ou diverge. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como manipular expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série:
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. Ou seja, multiplicamos por :

Passo 3

Calculando o denominador:
Então, a expressão simplificada fica:
Como estamos lidando com séries, o sinal negativo não afeta a convergência ou divergência, então podemos considerar apenas:

Passo 4

Agora, a série original pode ser reescrita como:
Para aplicar o teste da comparação, precisamos comparar essa série com uma outra que conhecemos. Observando , sabemos que para grande, se comporta como . Então, podemos simplificar a comparação consideranda apenas :

Passo 5

Sabemos que a série:
é uma série p com . A série p converge se e diverge se . Como , essa série diverge.

Passo 6

Como a série original:
é maior ou igual a uma série divergente, pelo teste da comparação, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Simplifique:
Determine a derivada da função vetorial.
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(d)
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
§