Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(n) sumn=1^infty(1raizn-raizn+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série
sumn=1^infty(1raizn-raizn+1)
converge ou diverge. Teste da comparação é uma técnica que compara a série em questão com outra série que a gente já conhece se ela converge ou diverge. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como manipular expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série:
1raizn-raizn+1
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. Ou seja, multiplicamos por 1raizn-raizn+1 times raizn + raizn+1raizn + raizn+1 = raizn + raizn+1(raizn)^2 - (raizn+1)^2 :

Passo 3

Calculando o denominador:
(raizn)^2 - (raizn+1)^2 = n - (n + 1) = -1
Então, a expressão simplificada fica:
raizn + raizn+1-1 = -(raizn + raizn+1)
Como estamos lidando com séries, o sinal negativo não afeta a convergência ou divergência, então podemos considerar apenas:
raizn + raizn+1

Passo 4

Agora, a série original pode ser reescrita como:
sumn=1^infty ( raizn + raizn+1 )
Para aplicar o teste da comparação, precisamos comparar essa série com uma outra que conhecemos. Observando raizn + raizn+1 approx 2raizn , sabemos que para grande, se comporta como . Então, podemos simplificar a comparação consideranda apenas :

Passo 5

Sabemos que a série:
sumn=1^infty raizn
é uma série p com . A série p converge se e diverge se . Como , essa série diverge.

Passo 6

Como a série original:
sumn=1^infty ( raizn + raizn+1 )
é maior ou igual a uma série divergente, pelo teste da comparação, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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