Esboce o gráfico de cada uma das funções:

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função . Então, vamos trabalhar com a função seno, que é uma das funções trigonométricas básicas. Precisamos entender como multiplicar a função seno por -2 afeta o gráfico original. Para isso, vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função seno básica, . Ela tem uma forma ondulada que oscila entre -1 e 1, com um período de (ou seja, completa uma oscilação a cada unidades no eixo x).

Passo 3

Agora, vamos olhar para o coeficiente -2 na frente da função seno. Esse número faz duas coisas:
  1. Amplitude: O 2 multiplica a amplitude da função. A amplitude da função é 1, então multiplicando por 2, a nova amplitude será 2. Isso significa que o gráfico vai oscilar entre -2 e 2, ao invés de -1 e 1.
  2. Reflexão: O sinal negativo (-) inverte o gráfico da função em relação ao eixo x. Ou seja, ele vai “virar” a onda do seno para baixo.

Passo 4

Vamos resumir as transformações:
  • Amplitude: 2 (aumenta a altura das ondas)
  • Reflexão: Sim, a função é refletida em relação ao eixo x
O período da função continua , já que não temos nenhum coeficiente que altere isso na nossa função.

Passo 5

Agora, para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos chave:
  • Ponto inicial: ,
  • Máximo: O ponto alto será agora , porque a função está invertida. Isso acontece em
  • Mínimo: O ponto baixo será , em
  • Cruzando o eixo: Novamente em e , onde

Resposta

Então, o gráfico de é uma onda senoidal que oscila entre -2 e 2, com um período de . A função está refletida em relação ao eixo x em comparação com . Para esboçar, marca os pontos chave mencionados e desenha a curva ondulada passando por eles.

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Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(e)
Calcule e sabendo que .
Esboce o gráfico de cada uma das funções:
Determine a derivada da função vetorial.