Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(n) sumn=1^infty (-1)^n e^1 / nn^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série para ver se ela converge de forma absoluta ou diverge. Para isso, vamos usar um dos testes de convergência que são os teste da razão ou teste da raiz. Esses testes nos ajudam a determinar se a série vai somar um número finito (converge) ou não (diverge).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite do valor absoluto do termo seguinte dividido pelo termo atual, ou seja,
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente. Se , ela diverge. E se , o teste não dá informação e precisamos tentar outro método.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos o termo geral:
an = (-1)^n e^1 / nn^3
Como o teste da razão usa os valores absolutos, podemos ignorar o |an| = e^1 / nn^3 já que |an+1| = e^1 / (n+1)(n+1)^3 . Então,
L = limn to infty e^1 / (n+1)(n+1)^3e^1 / nn^3 = limn to infty e^1 / (n+1) cdot n^3e^1 / n cdot (n+1)^3
Agora, vamos calcular :
Então, o limite fica:

Passo 4

Vamos simplificar esse limite. Primeiro, notamos que e^1 / (n+1)e^1 / n = e^1/(n+1) - 1/n = e^-1/(n(n+1)) e e^-1/(n(n+1)) approx 1 para grandes n^3(n+1)^3 = ( nn+1 )^3 = ( 1 - 1n+1 )^3 se aproximam de , mas vamos considerar a diferença entre eles:
Como tende a zero quando tende ao infinito, temos:
Agora, vamos olhar para :
Expandindo usando o binômio de Newton para grandes , temos que , que também tende a 1.

Passo 5

Juntando tudo, temos:
L = limn to infty e^-1/(n(n+1)) cdot ( nn+1 )^3 = 1 cdot 1 = 1
Segundo o teste da razão, se , o teste é inconclusivo. Então, precisamos tentar outro teste, como o teste da raiz.

Passo 6

O teste da raiz funciona calculando:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se |an| = e^1 / nn^3 , a série converge absolutamente. Se raiz[n]|an| = raiz[n]e^1 / n cdot raiz[n]1n^3 = e^1 / n^2 cdot ( 1n )^3/n , diverge. Se , o teste não dá resposta.
Vamos aplicar na nossa série:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite:
L = limn to infty e^1 / n^2 cdot ( 1n )^3/n
Sabemos que:
limn to infty e^1 / n^2 = e^0 = 1
E,
limn to infty ( 1n )^3/n = limn to infty e^3n ln(1/n) = e^0 = 1
Então,
L = 1 cdot 1 = 1
Mais uma vez, o teste da raiz nos dá , que é inconclusivo.

Passo 8

Como ambos os testes da razão e da raiz foram inconclusivos, vamos analisar a série de outra forma. Observamos que:
e^1/n approx 1 + 1n para grandes n
Então,
e^1/nn^3 approx 1n^3 + 1n^4
Sabemos que as séries e são p séries com e , que convergem porque .

Passo 9

Portanto, a nossa série original converge absolutamente, já que a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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