Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série para ver se ela converge de forma absoluta ou diverge. Para isso, vamos usar um dos testes de convergência que são os teste da razão ou teste da raiz. Esses testes nos ajudam a determinar se a série vai somar um número finito (converge) ou não (diverge).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite do valor absoluto do termo seguinte dividido pelo termo atual, ou seja,
Se , a série converge absolutamente. Se , ela diverge. E se , o teste não dá informação e precisamos tentar outro método.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos o termo geral:
Como o teste da razão usa os valores absolutos, podemos ignorar o já que . Então,
Agora, vamos calcular :
Então, o limite fica:

Passo 4

Vamos simplificar esse limite. Primeiro, notamos que e para grandes se aproximam de , mas vamos considerar a diferença entre eles:
Como tende a zero quando tende ao infinito, temos:
Agora, vamos olhar para :
Expandindo usando o binômio de Newton para grandes , temos que , que também tende a 1.

Passo 5

Juntando tudo, temos:
Segundo o teste da razão, se , o teste é inconclusivo. Então, precisamos tentar outro teste, como o teste da raiz.

Passo 6

O teste da raiz funciona calculando:
Se , a série converge absolutamente. Se , diverge. Se , o teste não dá resposta.
Vamos aplicar na nossa série:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite:
Sabemos que:
E,
Então,
Mais uma vez, o teste da raiz nos dá , que é inconclusivo.

Passo 8

Como ambos os testes da razão e da raiz foram inconclusivos, vamos analisar a série de outra forma. Observamos que:
Então,
Sabemos que as séries e são p séries com e , que convergem porque .

Passo 9

Portanto, a nossa série original converge absolutamente, já que a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados

Determine a derivada da função vetorial.
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(q)
Determine a derivada da função vetorial.
Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor do parâmetro dado.