Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente e a regra do produto. Vamos precisar lembrar como derivar funções polinomiais, exponenciais e como aplicar a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, identificamos que temos uma função que é uma fração, ou seja, um quociente de duas funções. Para derivar uma função dessa forma, usamos a Regra do Quociente, que nos ajuda a encontrar a derivada de
.
Passo 3
A Regra do Quociente diz que se
, então a derivada
é:
Então, vamos identificar
e
na nossa função.
Passo 4
No nosso caso:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as derivadas
e
. Vamos começar com
.
Passo 6
Passo 7
Agora, vamos derivar
. Aqui, temos um produto de duas funções, então usamos a Regra do Produto.
Passo 8
A Regra do Produto diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 9
Vamos encontrar
e
:
A derivada de
é
porque, em geral, a derivada de
é
.
Passo 10
Aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar
:
Passo 11
Agora, voltando à Regra do Quociente, temos:
Substituindo
,
,
e
:
Resposta
A derivada da função é: