Encontre a reta tangente à curva
que passe pelo ponto
.
( Dica: este ponto está fora da curva.)
( Dica: este ponto está fora da curva.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva
que passa pelo ponto
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas para achar a tangente. Vamos precisar entender como encontrar a derivada de uma função e usar a condição de tangência para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função
nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. No nosso caso, a função é
, então vamos calcular sua derivada.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva é
.
Passo 4
Agora, consideramos que a reta tangente toca a curva no ponto
. A inclinação dessa reta é
. A equação da reta tangente nesse ponto pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
Passo 5
Sabemos que essa reta tangente também passa pelo ponto
. Então, vamos substituir
e
na equação da reta para encontrar o valor de
:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Rearranjando os termos:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 8
Com os valores de
encontrados, podemos determinar as equações das retas tangentes:
Para
:
Para
:
Resposta
As retas tangentes à curva
que passam pelo ponto
são:
Exercícios relacionados
Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
d)
d)
Identifique os pontos de descontinuidade da função
.
Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Lc)
Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de La)