Encontre a reta tangente à curva que passe pelo ponto .
( Dica: este ponto está fora da curva.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva que passa pelo ponto . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas para achar a tangente. Vamos precisar entender como encontrar a derivada de uma função e usar a condição de tangência para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. No nosso caso, a função é , então vamos calcular sua derivada.

Passo 3

Calculando a derivada de :
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva é .

Passo 4

Agora, consideramos que a reta tangente toca a curva no ponto . A inclinação dessa reta é . A equação da reta tangente nesse ponto pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:

Passo 5

Sabemos que essa reta tangente também passa pelo ponto . Então, vamos substituir e na equação da reta para encontrar o valor de :

Passo 6

Vamos resolver a equação:
Rearranjando os termos:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 8

Com os valores de encontrados, podemos determinar as equações das retas tangentes:
Para :
Para :

Resposta

As retas tangentes à curva que passam pelo ponto são:

Exercícios relacionados

Determine a derivada das funções abaixo (não é necessário fazer simplificações):
d)
Identifique os pontos de descontinuidade da função .
Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Lc)
Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de La)