Identifique os pontos de descontinuidade da função
.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente identificar os pontos de descontinuidade da função
definida por partes. A matéria envolvida aqui é Análise de Funções e Continuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que são pontos de descontinuidade e como identificá-los em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
para
:
Aqui, temos uma divisão, então precisamos ficar de olho onde o denominador é zero, pois isso pode indicar uma descontinuidade.
Passo 3
Vamos encontrar onde o denominador
:
Portanto, em
, a função pode ter uma descontinuidade porque o denominador se anula.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece próximo a
. Calculamos o limite da função quando
se aproxima de
:
Como
, para
próximo de
,
e o denominador também é
. Então, temos uma forma indeterminada
, o que sugere que podemos simplificar a expressão.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Para
, isso simplifica para:
Ou seja, a função é igual a 1 para
e -1 para
.
Passo 6
Agora, avaliando o limite quando
se aproxima de
pela direita e pela esquerda:
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, a função apresenta uma descontinuidade do tipo salto em
.
Passo 7
Agora, vamos analisar a função para
:
Aqui, também temos uma divisão, então vamos verificar onde o denominador
:
Em
, a função pode ter uma descontinuidade.
Passo 8
Vamos examinar o limite da função quando
se aproxima de
:
Note que
se comporta como
quando
está próximo de 2, então:
Portanto:
Passo 9
No entanto, a função não está definida exatamente em
. Então, existe uma descontinuidade do tipo discontinuidade removível em
, já que o limite existe, mas a função não está definida nesse ponto.
Resposta
A função
apresenta descontinuidades nos pontos
(descontinuidade do tipo salto) e
(descontinuidade removível).
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d)
d)
Encontre a reta tangente à curva
que passe pelo ponto
.
( Dica: este ponto está fora da curva.)
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