Identifique os pontos de descontinuidade da função f(x) = { |1+x| / (x+1), se x<2; 2 + sen(x-2) / (2-x), se x>2 }.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente identificar os pontos de descontinuidade da função definida por partes. A matéria envolvida aqui é Análise de Funções e Continuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que são pontos de descontinuidade e como identificá-los em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para :
Aqui, temos uma divisão, então precisamos ficar de olho onde o denominador é zero, pois isso pode indicar uma descontinuidade.

Passo 3

Vamos encontrar onde o denominador :
Portanto, em , a função pode ter uma descontinuidade porque o denominador se anula.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece próximo a . Calculamos o limite da função quando se aproxima de :
Como , para próximo de , e o denominador também é . Então, temos uma forma indeterminada , o que sugere que podemos simplificar a expressão.

Passo 5

Simplificando a expressão:
Para , isso simplifica para:
Ou seja, a função é igual a 1 para e -1 para .

Passo 6

Agora, avaliando o limite quando se aproxima de pela direita e pela esquerda:
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, a função apresenta uma descontinuidade do tipo salto em .

Passo 7

Agora, vamos analisar a função para :
Aqui, também temos uma divisão, então vamos verificar onde o denominador :
Em , a função pode ter uma descontinuidade.

Passo 8

Vamos examinar o limite da função quando se aproxima de :
Note que se comporta como quando está próximo de 2, então:
Portanto:

Passo 9

No entanto, a função não está definida exatamente em . Então, existe uma descontinuidade do tipo discontinuidade removível em , já que o limite existe, mas a função não está definida nesse ponto.

Resposta

A função apresenta descontinuidades nos pontos (descontinuidade do tipo salto) e (descontinuidade removível).

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