Determine a derivada das funções dadas: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Isso envolve o uso de derivadas e, mais especificamente, a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos . Isso significa que estamos elevando o cosseno de ao cubo. Para derivar isso, vamos tratar como uma função interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de é . No nosso caso, e . Então, a primeira parte da derivada vai ser .

Passo 4

Agora, precisamos derivar . A derivada do cosseno é o menos seno, então . Mas lembre-se que dentro do cosseno temos , então também aplicamos a regra da cadeia para derivar , que é .

Passo 5

Unindo tudo, a derivada completa fica:
Simplificando os termos, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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Questão ( 2,0 pontos) Considere o toro de revolução gerado pela rotação do círculo de raio centrado no ponto em torno do eixo , para . Calcule o volume deste sólido pelos três métodos estudados em sala de aula: seções transversais, cascas cilíndricas e Teorema de Pappus.