Questão ( 2,0 pontos) Considere o toro de revolução gerado pela rotação do círculo de raio centrado no ponto em torno do eixo , para . Calcule o volume deste sólido pelos três métodos estudados em sala de aula: seções transversais, cascas cilíndricas e Teorema de Pappus.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o toro, que é aquele sólido em forma de rosquinha. Mais especificamente, estamos vendo o toro que é gerado pela rotação de um círculo de raio centrado no ponto ao redor do eixo , onde . A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes de sólidos de revolução, e vamos usar três métodos para encontrar o volume desse toro: seções transversais, cascas cilíndricas e o Teorema de Pappus. Vamos precisar entender cada um desses métodos para calcular o volume.

Passo 2

Método das Seções Transversais
Primeiro, vamos usar o método das seções transversais. Esse método envolve cortar o sólido em fatias finas e calcular o volume somando as áreas dessas fatias.
No caso do toro, pensamos em fatias horizontais (paralelas ao eixo de rotação). Cada fatia é um anel, e a área de cada anel depende da distância ao eixo de rotação.
A área de cada anel pode ser calculada como a área do círculo maior (de raio ) menos a área do círculo menor (de raio ). Matemáticamente:
Simplificando:
Agora, para encontrar o volume, integramos essa área ao longo do eixo . Como o toro é simétrico e completa uma rotação completa, o volume será:

Passo 3

Método das Cascas Cilíndricas
Agora, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve imaginar o sólido como sendo composto por cascas finas em forma de cilindros.
Para o toro, cada casca cilíndrica tem uma altura igual ao comprimento do círculo central e um raio em relação ao eixo de rotação.
A altura de cada casca é a circunferência do círculo de raio :
O raio da casca é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação. Assim, o volume de cada casca é:
Como é constante durante a rotação, o volume total será:

Passo 4

Teorema de Pappus
Por último, vamos aplicar o Teorema de Pappus, que relaciona o volume de um sólido de revolução com a área da figura que está sendo rotacionada e a distância percorrida pelo centro de massa dessa figura.
Primeiro, calculamos a área do círculo que está sendo rotacionado:
O centro de massa desse círculo está a uma distância do eixo de rotação. Quando o círculo gira em torno do eixo , o centro de massa percorre uma circunferência com comprimento:
Segundo o Teorema de Pappus, o volume é dado por:

Resposta

O volume do toro é .

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