Determine o gradiente de cada função abaixo: p(x, y, z) = x * e^(-y * z) + z * ln(x - y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o gradiente da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais e vetor gradiente. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em relação a cada variável e juntar tudo isso no gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Derivando termo a termo:
  1. Primeiro termo:
    Aqui, é tratado como uma constante em relação a , então a derivada é:
  2. Segundo termo:
    A derivada da função logarítmica em relação a é . Então:
Somando as duas partes:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo:
  1. Primeiro termo:
    Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Então:
  2. Segundo termo:
    A derivada de em relação a é . Então:
Somando as duas partes:

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo:
  1. Primeiro termo:
    Novamente, usando a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Então:
  2. Segundo termo:
    Aqui, tratamos como constante. A derivada de em relação a é 1. Então:
Somando as duas partes:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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