Determine o gradiente de cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o gradiente da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais e vetor gradiente. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em relação a cada variável e juntar tudo isso no gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Derivando termo a termo:
-
Primeiro termo:Aqui,
é tratado como uma constante em relação a , então a derivada é: -
Segundo termo:A derivada da função logarítmica
em relação a é . Então:
Somando as duas partes:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo:
-
Primeiro termo:Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a é . Então: -
Segundo termo:A derivada de
em relação a é . Então:
Somando as duas partes:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo:
-
Primeiro termo:Novamente, usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a é . Então: -
Segundo termo:Aqui, tratamos
como constante. A derivada de em relação a é 1. Então:
Somando as duas partes:
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
Determine o gradiente de cada função abaixo:
Determine a derivada das funções vetoriais.
(d)
(d)